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781 ：１３２人目の素数さん[]：2017/08/13(日) 09:06:06.65 ID:liFnq291 - pを素数とする
mod pで、p個の数を繰り返す数列の階差をとっていくと、
0を繰り返す数列(0,0,0,0,……)が必ず出てくると予想しましたが、真なのかどうかが分からないです
教えて頂けるとありがたいです
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782 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 09:08:32.32 ID:liFnq291 - 例を忘れてました すみません
p=3のとき
1,0,2,1,0,2,1,0,2,……という数列の階差を考えていきます
一段階目の階差2,2,2,2,2,2,……
二段階目の階差0,0,0,0,0,0,……
となって、0を繰り返す数列が表れます
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784 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 09:15:02.80 ID:liFnq291 - p=5、つまりmod5で5個の数を繰り返す数列の階差を考えると
1,4,0,0,0,1,4,0,0,0,1,4,0,0,0という数列だと
一段階目の階差3,1,0,0,4,3,1,0,0,4…
二段階目の階差3,4,0,4,4,3,4,0,4,4…
三段階目の階差1,1,4,0,4,1,1,4,0,4…
四段階目の階差0,3,1,4,2,0,3,1,4,2…
五段階目の階差3,3,3,3,3,3,3,3,3,3…
六段階目の階差0,0,0,0,0,0,0,0,0,0…
となって、0を繰り返す数列が表れます
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791 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 10:32:47.31 ID:liFnq291 - >>789
レスありがとうございます
フェルマーの小定理が関係してるということでしょうか？
二行目は一度階差をとると、繰り返すp個の数の和が0になるということを表しているのでしょうか…
すみません、分からないです もう少し詳しく教えていただけると嬉しいです
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793 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 11:01:01.01 ID:liFnq291 - >>792
ありがとうございます！真なんですね
教えていただいた証明は僕にとって難しいので、何度か読んで理解していこうと思います
ありがとうございました！
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806 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 13:27:51.97 ID:liFnq291 - >>795
ありがとうございます
すみません、
-Π[j=1〜p，j≠i］（n-j)がn≠i（mod p）のとき0になりn=i（mod p）のとき1になることしか分からなかったです
-p!は-(p-1)!の誤りかと思うんですがどうなんでしょう
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807 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 13:46:56.46 ID:liFnq291 - お二人が教えてくださった証明も分からないのに書くのも良くないですが、>>781関連の予想があるので教えて下さると嬉しいです
僕が説明を理解できるか厳しいですが
nを自然数、pを素数とし、modpでn個の数を繰り返す数列の階差をとっていったものを考えます
繰り返すn個の数の和がpの倍数のとき、その数列をp数列と呼ぶことにする
あるp数列から階差をとっていって、元のp数列に戻ったとき、ループになっていると呼ぶことにする
pとnが互いに素で、p≠1(mod n)のとき、すべてのp数列がループに含まれていて、さらにすべてのループが同じ長さになっている
これは真でしょうか？お願いします
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808 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 13:53:15.72 ID:liFnq291 - >>807のループの例を上げさせてもらうと
mod5で
0,1,4という3つの数を繰り返す数列の階差をとっていくと(これから省略して繰り返す3つの数のみを書くことにする)
1,3,1
2,3,0
1,2,2
1,0,4
4,4,2
0,3,2
3,4,3
1,4,0
となって、0,1,4という繰り返しに戻りました。これをループと呼んでいます
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810 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 14:05:51.02 ID:liFnq291 - >>809
２つの数を繰り返す数列の階差を考えていくと
p数列は一般にa,-a,a,-aと書け
一段階目の階差は-2a,2a,-2a,2a
二段階目の階差は4a,-4a,4a,-4a
となっていて、modpにおける2の位数とループの長さが明らかに関係していることが分かります
3つの数を繰り返す数列は-3の位数と関係していることも同じようにして分かります
4つ以上の場合は分からないです
予想ばっかりですみません
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823 ：１３２人目の素数さん[]：2017/08/13(日) 15:09:10.35 ID:liFnq291 - >>821
レスありがとうございます
すみません。分からないです
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824 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 15:15:52.42 ID:liFnq291 - 今>>807の内容を頑張って計算していたんですけど、
qを奇数とするとき
modpでq個の数を繰り返す数列の階差のループの長さは2(p^((q-1)/2)-1)の約数になりそうです
計算したものの例をあげると、mod11で、ある7個の数を繰り返す数列の階差のループの長さが1330でした。大変だった…
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827 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 16:14:19.56 ID:liFnq291 - >>826
うーんうまく読み取れているか不安ですが、
>>807に書いたのと同じ条件、pとqは互いに素、p≠1(modq)
です。書き忘れていました。すみません
ただ、p≠1(modq)という条件を外しても、すべてのループが同じ長さになるとは限らなくなるだけだとは思います
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830 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 16:33:29.10 ID:liFnq291 - >>828>>829
はい、0だけの数列のループの長さは1ですね
ループの長さはすべて同じになると言っていましたが、0だけの数列を除くのを忘れていました
すみません。怒らないで…
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831 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 16:39:17.09 ID:liFnq291 - あ、けど0だけの数列は1個の数を繰り返す数列なので、2個以上の数を繰り返す数列の階差を考えるときは考えなくてもいいのかもしれません
似たような感じで、6個の数を繰り返す数列を考えるとき、3個の数を繰り返す数列は今まで除いて考えていました
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