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792 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/08/13(日) 10:43:41.07 ID:S2PV+wo4 - >>784
数列 a：N → R に対して、Δ[a]：N → R を Δ[a]_n ＝ a_{n＋1}−a_n (n≧1) で定義する。
また、k≧0 に対して Δ^k[a]：N → R を
Δ^0[a] ＝ a, Δ^{k＋1}[a] ＝ Δ[Δ^k[a]]
として帰納的に定義する。このとき、
Δ^k[a]_n ＝ Σ[i＝0〜k] kCi a_{n＋i}(−1)^{ k−i } (k≧0, n≧1)
が成り立つことが証明できる。特に、p が素数のときは
Δ^p[a]_n ＝ Σ[i＝0〜p] pCi a_{n＋i}(−1)^{ p−i } ≡ a_{n＋p}＋a_n(−1)^p (mod p) (n≧1)
となる。a が mod p において周期 p ならば、a_{n＋p}≡a_n (mod p) (n≧1) となるので、
Δ^p[a]_n ≡ (1＋(−1)^p)a_n (mod p) (n≧1)
となる。p が素数のとき 1＋(−1)^p ≡ 0 (mod p) なので、Δ^p[a]_n ≡ 0 (mod p) (n≧1) となる。
よって、p段階目の階差で必ず 0 のみが並ぶ(より早い段階で 0 のみが並ぶ可能性もある)。
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