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939 ：１３２人目の素数さん[]：2017/08/04(金) 10:27:50.12 ID:wSGd2rrE - 894です。回答を作成してみました
xが､0<x<1の有理数なら
x=1/5(tanπx=4/3より π/6<πx<π/4より)
あるいは
x=p/q(p､qは互いに素､pは2以上の整数)
x=1/5のとき
sin(5･(π/5))=0
しかしながら､sin(5πx)≠0
sin(2πx)=･･
sin(3πx)=sin(2πx)cosx+cos(2πx)sinx
･･･
sin(5πx)=sin(4πx)cosx+cos(4πx)sinx
≠0
(sinπx=3/5､cosπx=4/5を利用)
よって､x≠1/5
x=p/qのとき
m･πx=2nπ+πxとなる整数m(2以上)が存在する
このとき
mx=2n+x → (m-1)x=2n → x=2n/(m-1)
2n/(m-1)は互いに素であるから､mは偶数
mを2mに改めて
sin(2mπx)=sin(πx)=3/5
よって
2sin(mπx)cos(mπx)=3/5
sin(mπx)=aとすると
+ｰa･√(1-a^2)=3/10
→
a^2･(1-a^2)=9/100
→
a^4-a^2+9/100=0
→
a^2=(1+ｰ√(1-36/100))/2
=(1+ｰ4/5)/2=1/10､9/10
→ sin(mΠx)は無理数
sin(πx)=3/5､cos(πx/5)のとき
sin(mπx)は､有理数
よって､sin(mπx)が無理数であることは矛盾
即ち､xは無理数である
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