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874 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/06/22(木) 01:40:06.59 ID:rYVRThyu - >>872
フィボナッチ数列 F[n+2]=F[n+1]+F[n], F[1]=F[2]=1 を用いて
a[n]=F[2n-1]/F[2n]
と表せることを帰納法で示す
F[n]の一般項を放り込んで極限計算
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895 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/06/22(木) 11:21:01.62 ID:rYVRThyu - >>887
a[n]がCauchy列であることを示せば、
部分列がaに収束しているからもとの数列もaに収束することも言える
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もし仮にa[n]がCauchy列でないとすると、あるε>0があって
a[n]の部分列a'[n]を
(*) |a'[2n]-a'[2n-1]|≧
を満たすようにとれる
この a'[2n-1], a'[2n] の組のことをε-ペアと呼ぶことにする
このa'[n]の部分列の部分列a''[n]をうまくとるとaに収束するのだからa''[n]はCauchy列
よって(*)より、a''[n]のある項より先には、ε-ペアは含まれない
そこで、「ε-ペアのうち、a''[n]が選ばれるときに選ばれなかった方」からなる部分列をb''[n]とする
条件より、b''[n]の部分列b'''[n]をうまくとれば、やはりaに収束するからb'''[n]はCahchy列
さらにb'''[n]の各項とかつてε-ペアだったa''[n]の項からなる部分列をa'''[n]とすると、
a'''[n]はCauchy列の部分列としてCauchy列
以上で、aに収束するCauchy列α[n], β[n] であって、十分大きいnでは
(**) |α[n]-β[n]|≧ε
を満たすものが構成できた
これは、α[n]とβ[n]がともにaに収束することに矛盾
ゆえに、a[n]はCauchy列である
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896 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/06/22(木) 11:23:27.65 ID:rYVRThyu - >>895
(*)の部分、「≧ε」です
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900 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/06/22(木) 12:43:36.90 ID:rYVRThyu - >>899
ほんとだ
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