- 不等式への招待 第７章
920 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/01/12(木) 09:21:49.92 ID:OCuLi6LZ - a,b,c,dを正の実数とするとき、
[4] a + √(ab) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ K(4)(a+b+c+d),
K(4) = 1.4208443854096138127
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921 ：１３２人目の素数さん[sage]：2017/01/12(木) 11:12:31.15 ID:OCuLi6LZ - >>919-920
〔Carlemanの不等式〕（有限版）
相加-相乗平均をたした形であるが、そのままでは係数が合わない。
そこで正の係数 c_1〜c_n を掛けて
K(n)･(a1+a2+････+an) − {a1 + √(a1･a2) + ･････ + (a1･a2････an)^(1/n)}
= Σ[L=2〜n] {(c1･a1+c2･a2+･････+cL･aL)/(L･d_L) - (a1･a2･･･aL)^(1/L)},
とおく。ここに、d_L = (c1･c2･････cL)^(1/L),
a_L の係数を比べて
1/(L･dL) + 1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_L,
1/((L+1)d_(L+1)) + ････ + 1/(n･dn) = K/c_(L+1),
辺々引いて
1/(L･dL) = K/c_L − K/c_(L+1),
∴ 1/c_(L+1) = 1/c_L − 1/(K･L･d_L),
により c_Lが定まる。
c_1 = 2 とおくと、
c_2 = 2K/(K-1),
c_3 = 2K/{K -1 -√((K-1)/4K)},
････
また、K(n) は 1/c_(n+1)=0 から定まる。
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