- 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26 [無断転載禁止]©2ch.net
673 ：１３２人目の素数さん[sage]：2016/12/30(金) 12:18:33.91 ID:3TupPN97 - >>664
おっちゃんです。
>>628と長い議論をしているようだが、一応論理は追った。
>>628の行間を補って、もっと丁寧に補足して説明する。正しければ次のようになる。
m, nを自然数変数とする。
記号 An_{1}{m} で有限実数列 a(1), a(2), …, a(m) を表し
記号 An_{m+1}{∞} で無限実数列 a(m+1), a(m+2), … を表すことにする。
記号 0(n) で項が全て0の実数列を表すことにする。
また、記号 [An_{1}{m}, An_{m+1}{∞}] により無限数列
a(1), a(2), …, a(m), a(m+1), a(m+2), …
についての2項 a(m), a(m+1) の間で分けたことを表すことにする。
任意の1以上の自然数mに対して定まる決定番号を d(m) で表わすことにする。
元の実数列 s＝(s_1, s_2, s_3, …) は s_1, s_2, s_3, … とも書けて、
同様に元の実数列 s'＝(s'_1, s'_2, s'_3, …) は s'_1, s'_2, s'_3, … とも書けることに注意する。
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674 ：１３２人目の素数さん[sage]：2016/12/30(金) 12:23:22.73 ID:3TupPN97 - >>664
(>>673の続き)
すると、実数列の全体からなる空間 R^N における関係 〜 は R^N における同値関係であり、
s〜s' だから、関係 〜 の定義から、2つの実数列 s, s' について、
或る1以上の自然数 n_0 が存在して、n≧n_0 のとき s_n＝s'_n となる。
〜は R^N を類別するが、各類から代表を選び、代表系を袋に蓄えておく。
1以上の自然数mを任意に取る。すると、s_m は実数列 s に対して袋をゴソゴソ探った
ときの s〜s_m となるような(つまり同じファイパーの)代表 r＝r(s) となる。
同様に、s'_m は実数列 s' に対して袋をゴソゴソ探ったときの s'〜s'_m となる
ような(つまり同じファイパーの)代表 r'＝r'(s') となる。
s〜s' であり、s_m〜s'_m だから、n≧m＋1 のとき (s_m)(n)＝(s'_m)(n) となる。
従って、s'_n−s_n で表される数列を An とすれば、
r'−r＝(s'_1−s_1, s'_2−s_2, s'_3−s_3, …, s'_m−s_m, 0, 0, 0, …)
となる。記号 An_{1}{m} の定義から、An_{1}{m} は有限実数列
((s−s')_n)(1), ((s−s')_n)(2), …, ((s−s')_n)(m) を表すことになる。
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675 ：１３２人目の素数さん[sage]：2016/12/30(金) 12:25:56.23 ID:3TupPN97 - >>664
(>>674の続き)
同様に2つの記号 An_{m+1}{∞}、0(n) の各定義から、0[n]_{m+1}{∞} は
任意の項が0からなる無限実数列 0, 0, … を表すことになる。
従って、r'−r は r'−r＝[An_{1}{m}, 0[n]_{m+1}{∞}] とも表されることになる。
定義より、d(m)は 0[n] が開始する番号であり決定番号だから、
0[n]_{m+1}{∞} と書ける場合は d(m)＝m+1 となる。mは任意に取っていたから、
m→+∞ とすれば m+1→+∞ となって d(m)→+∞ となる。
実数列 {d(n)} は正の無限大に発散するから、決定番号の極限は存在しない。
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20 ：１３２人目の素数さん[sage]：2016/12/30(金) 17:49:01.22 ID:3TupPN97 - 前スレ>678宛て
＞>実数列 {d(n)} は正の無限大に発散するから、決定番号の極限は存在しない。
＞
＞そういう言い方がさ、数学科含む理系の人が聞いたら、目を丸くする表現だわさ、やれやれ
極限は通常は実数の値として定義する。
実数列 {a_n} が極限を持つとき {a_n} は収束する。
{a_n} が極限を持たないとき {a_n} は発散する。
ここに、{a_n} が n→+∞ のとき振動するときも {a_n} は発散する。
収束性に関する転換法により、{a_n} が極限を持たないことと {a_n} は発散することとは同値である。
だから、{a_n} が発散することがいえたら、{a_n} が極限を持たないことが従う。
こういうことは、殆ど高校数学の範囲に入る。
元々、スレ主の高校レベルの確率や極限の理解不足から生じて長引いた話だろう。
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