- 数学の質問スレ【大学受験板】part111
743 ：大学への名無しさん[sage]：2013/12/04(水) 21:53:57.03 ID:r600SL+w0 - ぐーぐるで調べろよｋｓ
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746 ：大学への名無しさん[sage]：2013/12/04(水) 23:29:53.51 ID:r600SL+w0 - >>744
>よってその積のC[n,2l](-1)^(n-2l)(-8)^lは整数
>よってその和のΣ[l=0,[n/2]]C[n,2l](-1)^(n-2l)(-8)^lも整数
これが3を因数に持たないことを示さなきゃいけなくなるね
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749 ：大学への名無しさん[sage]：2013/12/04(水) 23:51:27.76 ID:r600SL+w0 - cos(n+2)θ=cos(n+1+1)θ=cos(n+1)θcosθ-sin(n+1)θsinθ
cosnθ=cos(n+1-1)θ=cos(n+1)θcosθ+sin(n+1)θsinθ
2式を足した式を整理して（そもそも積和で導けるけど）
cos(n+2)θ=2cos(n+1)θcosθ-cosnθ
cosnθがm/3^nの形で表される・・(*)ことを示す。
cosθ=-1/3
cos2θ=2cos^2θ-1=-7/9より n=1,2のとき(*)は成り立つ。
n=k,k+1(kは自然数)のとき(*)が成り立つと仮定する。すなわちcoskθ=a/3^k,cos(k+1)θ=b/3^(k+1) (a,bは3と互いに素)と表される。
cos(k+2)θ
=2cos(k+1)θcosθ-cosnθ
=-2b/3^(k+2)-a/3^k
=-(2b+9a)/3^(k+2)
9aは3の倍数であり、2bは3の倍数でないため、2b+9aは3の倍数でない。
よってn=k+2についても(*)は成り立つ。
以上より任意の自然数nについて(*)は成り立つ
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