- 数学の質問スレ【大学受験板】part106
723 ：大学への名無しさん[]：2012/11/05(月) 17:36:16.80 ID:lRwAyWa+0 - >>721
実数成分で固有値が虚数の場合は、適当な行列Pで
P^(-1)AP=[a -b][b a] (a,bは実数) =r([cosθ -sinθ][sinθ cosθ]) (r=√(a^2+b^2))
とできて（虚数の固有値、固有ベクトルを求めて実部、虚部を考える）
(P^(-1)AP)^n=P^(-1)(A^n)P=(r^n)([cos(nθ) -sin(nθ)][sin(nθ) cos(nθ)])
これからA^nが求まる
Aにさして特徴がない、A^nを求めたいだけなら
整式 X^n を固有多項式f(X) (2次式)で割って X^n=f(X)*g(X)+aX+b (a,bは定数)
a,bは簡単に求まり、あとは行列Aに対し A^n=f(A)*g(A)+aA+bI (Iは単位行列)、f(A)=O (Oは零行列)
を用いて A^n=aA+b
2x2くらいのサイズで見てすぐ分からないなら、たぶん一番簡単、しかも万能
ちなみに昔のなんとか医大（忘れた）で出題された
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