- 【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題10
569 ：大学への名無しさん[]：2011/08/10(水) 00:27:35.13 ID:tuOlC5mo0 - >>563
>>472があってるとして極座標の部分だけストレートな方法でやってみよう
求める式
(8/3)x = (1-2q)/p
p,qの式
p^2 +{q-(1/2)}^2=1
この2つを見て似てるなって思わないか？p≠0だから
4 + {(1-2q)/p}^2 = 4/p^2
{(1-2q)/p}^2 = (4/p^2)-4
(1-2q)/p = ±2√{(1/p^2)-1}
この±符号は左辺の値次第だ
i)q ≧1/2のとき
1-2q≦0
0<p≦1
なので
(1-2q)/p = -2√{(1/p^2)-1} ≦0
ii)0 < q < 1/2のとき
1-2q > 0
(√3)/2<p<1
(1-2q)/p = 2√{(1/p^2)-1}
0 < 2√{(1/p^2)-1} < 2/√3
i)ii)から
(1-2q)/p < 2/√3
これは>>472の最後と同じ
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- 【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題10
574 ：大学への名無しさん[]：2011/08/10(水) 01:29:34.43 ID:tuOlC5mo0 - >>570
そんなこと気にするくらいなら
Arctanを使う必要性も全く無い事に気付いた方が
>>274の積分でx=tan(t)と置くのは別にいいが
定積分だから t が出てきたらそのままtに値を入れればいいだけ
∫1/(1+x^2)dx = Arctan(x) +c
とかいきなりやってないよな？
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- 【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題10
582 ：大学への名無しさん[]：2011/08/10(水) 11:18:56.56 ID:tuOlC5mo0 - >>580
本屋で見たら？
実際に本屋で一読しただけで全部頭に入って
帰って来て全部解くって人いるし
その程度の事もできない人は無理して解いてくれなくてもいい
能力もたかが知れてるから、すでに出てる解答を大きく越えるようなものを出せるとも思えない
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- 2011年第1回東大即応オープン
207 ：大学への名無しさん[]：2011/08/10(水) 11:37:50.83 ID:tuOlC5mo0 - >>204
>>107を読む限り、kを変数と考えてもいい
ただしPkというのはkの函数だから
{P3,P4,…,P10}という集合を求めよということになる。
足し算とか勝手な意味を加えてはいけない。
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- 2011年第1回東大即応オープン
212 ：大学への名無しさん[]：2011/08/10(水) 12:37:53.99 ID:tuOlC5mo0 - >>210
Pkを求めよと書いてある以上そうとしか読めない。
これはkとPkの対応関係。
P3+P4+…+P10という和を求めよということが書かれているわけではない。
書かれても無い事を勝手に加えてはいけない。
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- 2011年第1回東大即応オープン
217 ：大学への名無しさん[]：2011/08/10(水) 13:25:17.62 ID:tuOlC5mo0 - >>213
> 「Pk」とは条件を満たす数字が少なくとも一回出る場合の確率を意味するはず
そういう意味にはならない。
Pkの定義は
> 数字kが書かれたカードを少なくとも一回引く確率をPkとおく。
であって、kは1つの数だ
集合を独立変数に取る函数とするには定義を変えないといけない。
勝手に定義をねじ曲げてはいけないよ。
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- 2011年第1回東大即応オープン
218 ：大学への名無しさん[]：2011/08/10(水) 13:38:58.94 ID:tuOlC5mo0 - >>213
多分勘違いしている部分をついでに言っておくと
数kを変数に取る函数P(k)
何かの集合Aを変数に取る集合函数P(A)
は似て非なるものだからちゃんと区別した方がいい。
確率ということでどちらもPを使ったりするせいで
混乱する人はいるかもしれないけどな。
kが3≦k≦10となる確率 P(3≦k≦10)
みたいなのを使いたいなら後者の集合函数としての定義が必要だ。
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- 【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題10
589 ：大学への名無しさん[]：2011/08/10(水) 16:22:31.29 ID:tuOlC5mo0 - >>588
いや>>587の方法でも(1)を利用できる
ただ、ピタゴラス数ではなく原始ピタゴラス数だな
中高生向けの啓蒙書によく使われるネタの一つだから
ハイレベルでなくても知ってたりしそうな感じ
>>211の記号で書けば与式は
(3^t)^2+(2^b)^2 = (5^s)^2
3^t, 2^b, 5^sは存在するなら互いに素で原始ピタゴラス数となり
p,qだと(1)と混同するのでm,nとして
m > n となる互いに素な正の整数m,nで一方が偶数となるものが存在して
3^t = m^2 -n^2
2^b = 2mn ← 本質的ではないがここの係数は4ではなく2だな
5^s = m^2 +n^2
2^b = 2mnで、m,nは2のべき乗で互いに素だからn=1
m=2^uとおけて
3^t = 2^(2u) -1
これは(1)によればt=u=1という解しかない
原始ピタゴラス数がこの形で書けることの証明がいるし
これも筋があまりいいとは言えないな
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