- 【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題9
383 ：1の最強答案（ドヤ顔[euler]：2011/06/08(水) 23:59:11.63 ID:WPAQr6Zb0 - 1.
以下の合同式は全て(mod31)とする
(1)
f(1)=1+a+b
f(2)=8+4a+bであるから
f(2)-f(1)=0より3a≡24
故にa≡8
∴a=8(∵0≦a≦30)
これとf(1)とから
b≡22が成り立つ
∴b=22(∵0≦b≦30)
以上より(a,b)=(8,22)
(2)
(a,b)=(8,22)のとき
f(n)=n^3+8n^2+22≡0
⇔n^3+n^2-9≡0
⇔(n-1)(n^2+9n+9)≡0
⇔(n-1)(n^2+9n-22)≡0
⇔(n-1)(n-2)(n+11)≡0
∴n≡1,n≡2,n≡-11≡20
ゆえにf(n)≡0の完全解はn≡1かつn≡2かつn≡20である
よってこれ等の解の小さいほうから6つは
n=1,2,20,32,33,51である
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