- 数学の勉強の仕方 Part139
208 ：大学への名無しさん[sage]：2010/03/30(火) 01:36:02 ID:u8uAWWyR0 - 新高2生でIAを伸ばそうと考えてる人が複数いるね。
でも、数Iの2次関数、数と式、三角比の数量的側面は、数IIやって内容的に
完結するんで、数Iの知識だけで数Iの(ある程度)高度な問題に取り組むのは
むしろ効率悪いよ。
基礎問はともかく、それ以上のレベルは、数II(全部、または後継単元）が
終わってからで構わないと思う。新学期で数IIの授業がまた動き出したら、
そっちに注力するのが吉ということ。目前の試験では点が取りにくいかも
しれないが、長期的には時間をより有効に使えると思う。
どうしてもIAやりたいならA優先、あるいはIでも整数問題(志望校で問われる
場合)や図形計量(これはAの図形と絡むけど)といったところかねぇ。
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- ＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part94＊＊＊
35 ：大学への名無しさん[sage]：2010/03/30(火) 09:14:37 ID:u8uAWWyR0 - >>31 >>33
y=√x ( 0≦x≦1) のx=0とか
y=-√(1-x) ( 0≦x≦1) のx=1とかの、端での接線がx軸に平行になる場合を
含むことができるようにするため。
確かに数IIBの範囲ではそういう関数はないけど、数IIIでは出て来るわけだし、
高校範囲でも安易に等号入れたらダメよ。
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- ＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part94＊＊＊
36 ：大学への名無しさん[sage]：2010/03/30(火) 09:33:37 ID:u8uAWWyR0 - ↑誤)x軸に平行 正)ｙ軸に平行
あと、高校数学ではそもそも「閉区間で微分可能」ってのをちゃんと定義しないかも。
閉区間の端では片側微分係数しか定義できない(極限を取るときに区間内側からしか寄れない)。
「閉区間で微分可能ってのは端については片側微分係数がとれるってこと」※と
定義することは可能ではある。けど、高校数ＩＩＩ教科書ではこの定義を取ってない
(片側極限/微分係数や「微分可能」は定義されてるけど、※については書かれて
いない）。よって両側から極限が取れない閉区間での端の値では、
そもそも高校数学の立場では微分係数が定義できないことになる、とも考えられる。
だったら端を議論から外す(等号をつけない)ほかないよね。
もっとも※の定義をとったところで、>>35で書いたようなケースが出て来るんで、
どっちにしても端に等号は含め（られ)ないんだけど。
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- 【明治農】バカは文系だけにしてくれ【数学非受験】
5 ：大学への名無しさん[sage]：2010/03/30(火) 10:23:27 ID:u8uAWWyR0 - 「数学やらないのはバカ、数学やる理系は利口」という立場ではなく、
あくまで入試科目や中でやることに関しての話をするという前提で。
そもそも農学部は、ある意味では昔から文理融合学部だった。農業経済系は
たいていの農学部にはあるし、理系としての農業土木→行政側に寄った
土木/都市計画、という流れもある。また、農業から完全に離れてこれに
近いことをやるやるような都市計画系、環境系ってのも最近はけっこう
たくさんある。だから明治に限ったことじゃないと思う。たとえば
・東京農大 農学部と応用生物科学部以外の3学部
・電気大 理工学部、情報環境学部等のセンター入試
・都市大 地球環境学部造園科学科センター入試
などは数理をどちらもやらずに入ることが可能だ。
あとは情報系。専修のネットワーク情報、明治の情コミは私文型3科目で入れる。
さらに、理科やれば数学やらなくてもOK、というところまで含めてよければ、
もっとずっと数は増えるよ。
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- ＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part94＊＊＊
40 ：大学への名無しさん[sage]：2010/03/30(火) 11:23:51 ID:u8uAWWyR0 - >>38
>数学を安易に直観的に扱うのが高校までの数学だろ？
これには基本、すごく同意するんだけど、数IIIでの理論面を詰めるような問いに
限っては、その例外になってくると思うんだよね。だから、高校数学といえど、
数IIIのレベルでは慎重にならなきゃいけないと思う。
ただ、数IIでは無論不要だと思う。なので、数IIレベルの問題の説明なのに、
あきらかに大げさすぎる厳密な形の定理をわざわざ持ち出した上、そのフォローさえ
書いてないチャート/数研に一番大きい責任があると思う。
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- ＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part94＊＊＊
45 ：大学への名無しさん[]：2010/03/30(火) 14:21:29 ID:u8uAWWyR0 - >>42-44は同一の人だと思うけど
まず「ある"区間"で増加」はいま考察の対象になってるけど、
「ある"点(値)"で増加」ということは考えてないことに注意。
だって「区間0≦x≦1で増加」なんでしょ。これは「[0,1]の間の任意のxで」ということではなく、
「[0,1]という区間全体として持つ性質として」ということ。
だから「x=0で増加しているか」というのは問い方自体が規約を外してることになる。
>>44、普通に両側微分可能と書いてるけど、定義域外ではなにが起こっているかわからないので、
・もっと定義域を広げて形で「続き」が考えられるような場合 も
・さらに定義域を広げることが不可能な場合 も
区別せずに、定義域端、もしくは増加という性質を考える区間の端を扱うのが普通。
たとえば y=x^2 (2≦x≦4)はもちろん[2,4]で定義されている。これをx=2で切ったのは
たまたまであって、x=2では両側で微分係数が考えられる、と思うかもしれない。
でもこのxが実はt+(1/t)を置換したものだとしたらどうする? x<2には延長できないんだよ。
これを「たまたまx=2で切った」場合と区別して考えるより、どっちでも適用可能な形で
(つまり、極力適用可能な範囲を広げるような形で)定理を作っていくほうがいいじゃない。
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47 ：大学への名無しさん[sage]：2010/03/30(火) 14:36:02 ID:u8uAWWyR0 - (>>45続き) もうひとつ、>>31に書いてある
「f(x)が([0,1]で)常に増加するための条件は、 0<x<1 のとき f'(x)≧0 が成り立つことである」
これ、「書かれたような形の関数f(x)」に限定すれば間違ってないけど、
「一般の関数f(x)」では「条件」という部分が嘘になる。
一般の場合、 0<x<1のときf'(x)≧0 ⇒ [0,1]でf(x)は増加 は言えるけど、
[0,1]でf(x)は増加 ⇒ 0<x<1のときf'(x)≧0 はいえない。
反例：f(x)を0≦x≦1/2でf(x)=x、1/2<x≦1でf(x)=2x-1/2として定義すれば、
f(x)は[0,1]で増加するけれど、範囲内に微分不可能な点x=1/2を含む。
引用だからチャートにどう書いてあるかは分からないけど、もし「この形の関数に限る」
ということをハッキリさせずに「条件」という言葉を使っているとしたら、嘘ではないにせよ
紛らわしく、書き直されるべき記述だと思う。
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50 ：大学への名無しさん[sage]：2010/03/30(火) 15:16:37 ID:u8uAWWyR0 - >>31 こっちも相当に早とちりだが、なんと言っても後出しの最たるもんは
あなたが理系であって数III既習であることを書かなかったということだ。
問題が「数IIBの範囲」であっても、想定読者が数III既習であることを
前提としていれば、話は違ってくる。「ちゃんと学んだのならちゃんとやれ」と
いうことになるから。
数IIIの教科書をちゃんと読み直すべし。関数の増減と極大極小に関して
数IIの時は流してあることがもう一度きちんと提示されており、そこに
(a,b)で常にf'(x)>0 ⇒ f(x)は[a,b]で増加
という定理の形で書いてあるはずだ（平均値の定理を前提とした上で
ちゃんと証明してある場合もあるはず)。端の扱いに疑問を持つならば、
理プラの解説ではなく教科書でここをやったときに感じるべきだった。
で、数III既習なら「ご存知のとおりこうだよね」で済むわけで
(たかだか有限個のf'(x)=0の点を含む場合なら⇒の左はf'(x)≧0でいい)
だったらサラっと書き流した本の側は責められない。
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52 ：35[sage]：2010/03/30(火) 18:26:30 ID:u8uAWWyR0 - こっちこそごめん。理プラにIAIIBとIIICがあることをすっかり忘れていました。
(本屋に出かけていたのだけれど、店頭で現物を見て、しまったと思った次第)
で、「今回の問題で x=1,2 が含まれない理由」ってのは直接的には
「そのことの根拠になる、増減に関する定理が端を含まない形になっているから」で、
この「増減に関する定理」自体は「数IIIの教科書にちゃんと書いてある」。つまり、
数IIIの中で学べる。
ただ「じゃあ何で定理の方は端を含まない形なのか」ってことになると話が厄介で、
これは必ずきっちりと学べるとは限らない(「これでわかる数IIIC」ではここの話を
結構すっ飛ばしてる)。ただ、「区間の端での微分可能性」ってのをちゃんと定義した上で
定理(1)(a,b)で常にf'(x)>0 ⇒ f(x)は[a,b]で増加
定理(2)[a,b]で常にf'(x)>0 ⇒ f(x)は[a,b]で増加
を比べると、(1)のほうが適用可能範囲が広い、より強力な定理になっているってのは
納得してもらえると思う(例：y=√xの[0,1]での増減を論じる場合、定理(1)は使えても
定理(2)は使えない)。
つまりこの定理での、端の微分可能性は、
「含めてはいけない、含むことができない」から含まれないのではなく
「含めると制約が大きくなって不便な上、含めない形で証明も可能。
だったら端の微分可能性は議論から外したほうがいい」ので含んでいない、ということ。
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57 ：35[sage]：2010/03/30(火) 21:20:12 ID:u8uAWWyR0 - >>54 >>46はあんまり頓珍漢なんでスルーしたんだけど「微分可能」というのは
あくまで、区間ではなく点での性質。これは数IIレベルで分かる話で、
たとえばx=1/2で微分可能だからx=1/2での微分係数が出せる。
>>53はこれとは違って妥当な指摘。ただ、>>36でこの話は論じてある。
「閉区間」「開区間」も既知として書いてしまったけど、
[a,b] ; a≦x≦b のような「端を含める」のが閉区間、
(a,b) ; a<x<b のような 「端を含めない」のが開区間。
「点だから微分不可能」(×)ではなく、
「端だと定義域内の一方からしかその値に近づけないから両側極限がとれず、
従って微分係数を定義できないので微分不可能」という考え方ですね。
微分係数を極限を使って考えるとき、
f'(a)= lim[h→0]{ {f(a+h)-f(a)} / h } という極限を考えるわけですけど、
このとき「hをどのように0に近づけても、極限の式全体の近づく先の値が
変わってはいけない」ということを数IIIでやります。h>0を保ちながら、
またはh<0を保ちながら近づくのが「片側極限」で、これが違う値になったり
片方しか存在しないと、数IIIで言っている意味では極限値を考えようがない
→微分については微分不可能、って理屈の流れです。
ただ、>>36の※のように定義すれば「閉区間端での微分係数」を考えることはでき、
そしてなおその場合にも考えている定理は成立するわけです。
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59 ：35[sage]：2010/03/30(火) 21:37:14 ID:u8uAWWyR0 - そろそろ怒られそうだけど後1点+今出てる質問にだけ。
まず、「この定理」にはなぜか固定した名前がありません。「平均値の定理」は
別の定理で、数IIIでちゃんと扱う名前がついた定理。「この定理」はそれから
証明可能な別のもの。
もう一つ、「[a,b]で常にf'(x)>0 ⇒ …」では実用上困る大きな理由を思い出したので。
「y=x^3は[-1,1]で常に増加」だけど、考えている定理で、⇒の左辺に区間端が
入ってしまっているとこれを言うのが大変（てか無理かも?)。
ところが、左辺が(a,b)だと大丈夫。
まず、(-1,0)と(0,1)とではy'=3x^2は常に正。だから[-1,0]と[0,1]で常に増加。
ところが[a,b]、[b,c]で常に増加なら[a,c]で常に増加といえる。条件側に
端の点での微分係数が含まれていなかったからこそ、x=bで区間がうまく
つながったわけです。
てなことで、あと詳しいことは数IIIの教科書(or履修)待ちにしてください。
なお、とことん突き詰めたいと大学数学の領域に踏み込んじゃうことになるので
入試合格を優先するならほどほどのところで妥協するのがお勧めです。
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62 ：35[sage]：2010/03/30(火) 22:30:10 ID:u8uAWWyR0 - >>61 >>57の冒頭を見てちょ。
「微分可能かどうか」はあくまで個々の点に対して考え（られ）る性質。
微分可能な点が連なってると「区間で微分可能」ということは可能だし、
導関数や微分係数を考えるときにはその点の前後の区間を考える必要があるけど、
だからと言って「微分可能というのは点では議論できない」というのは考え方としてダメ。
さらに
>だったら絶対値記号ついてグラフのの折り返し地点でも微分可能ってなっちまう
というのがまたダメ。「点で微分可能である⇒"とがった"点で微分可能になる」ってのは
⇒の左辺がそもそも成り立ってないのだけど、「微分可能」というのをふつう使われる
どんな定義でとっても⇒の右辺は言えない。
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71 ：35[sage]：2010/03/30(火) 22:56:50 ID:u8uAWWyR0 - >>64 説明としては>>63氏のほうが正確なのでそっちをご参照あれ。
>>63の1行目ではまさに「点について微分可能という性質が定義されている」ことを言っている。
(で、こっちのほうが大雑把なんだけど指摘してる方向性がほとんど同じなんでちょっと笑った)
端の扱いに関しては再度の指摘だけど>>36を見て。
「閉区間で微分可能」を言うためにさらに定義を拡張する流儀というのは確かにあって、
出典を明記すれば、高校用の本じゃないけど 田島一郎「解析入門」126ページ。
ただ、この定義を取るとy=|x|のx=0は、定義域の端以外の点としては微分不可能だけど、
閉区間の端としては微分可能ということになってしまうね。
>>46ではそういう「区間の端」という重要なポイントをまったく書かずに
「点で微分可能なわけない」と書いてあることもご考慮されたし。
>>67 >俺そこらへん曖昧な気がする
数II/数IIIの教科書か丁寧な解説系(not解法系)参考書をもう一度しっかり読むべし。
>>69
高校生ならOKだと思うし、そう書いてある参考書を見た記憶がある。
高校での極限の直感的な扱いでは証明が不可能だし、極限に対して直感的な
扱いを許すならこれも通さざるを得ないと思うし。ただ、数III担当の学校or予備校の
センセの意見も聞いてみて。
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