- マスターオブ整数
33 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 18:21:11.30 ID:kQygg83C - 好意的なレスありがとうございます。
もう誰も見ていないと思うので勝手に続けます。
マスターオブ整数・第2部を読む。
基本事項のまとめではなくて発展事項の解説なので初めは読むのがつらいと思う。必ずしも読む必要はない。
一回で見開き2ページくらいずつ読むと案外読み終わるかも知れない。あと作業を実際やりながら読むのは極めて重要。整数問題は実験→規則性が大事。
素因数分解は整数で最も重要な論点。エラトステネスの篩。素因数分解の一意性。√ nまで調べれば十分。
素数には最大値はない+素数は無限個あることの証明が書いてある。
約数の個数の公式。約数の総和の公式。
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34 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 18:30:38.04 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 57
n！に含まれる素因数の個数の公式(中学入試)
図にすると、縦に数えるか横に数えるか問題。
素因数分解してある数の最大公約数と最小公倍数の拾い出し方。小さい指数を拾っていけば最大公約数、大きい方を拾っていけば最小公倍数になる。
公式 A B＝G L、L＝G a b。
平方数の約数の個数は奇数個。重要。
非平方数の約数の個数は偶数個。
どちらも約数の総積(総乗)の公式は同じ。
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35 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 18:47:45.97 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 58
素因数分解が終わって次のテーマに移る。
倍数の周期性。最小公倍数ごとに繰り返す。重要。
倍数の対称性。一列に並べると左右対称になる。重要。
※倍数というより、公差の異なる複数の等差数列と言った方がいい。
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36 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 18:56:48.08 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 59
オイラー関数。 n以下の自然数でnと互いに素な数の個数。これは便利。
感覚的な理解。イメージ。
2で割り切らない中の、3で割り切れない中の、とやっていく。
中国剰余定理。
どの２つも互いに素という仮定。一周期の中にただ一つ存在する。
百五減算は覚えやすいし便利。
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37 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 19:09:26.56 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 0、 6 1
合同式に入る。余りの計算は余りだけでやって良いということ。
※ここで言う計算とは足し算・引き算・掛け算のことで割り算は含まれない。
無限個ある整数を有限個に類別する。
円環的イメージ。
類。代表値。剰余類の法。
負の剰余も考えると便利。計算上、別に矛盾しない。
答えの時は普通の余りで答える。
合同式を使った計算の意味。別に合同式を使わなくても内容は同じ。
しかし簡潔に表現できるので楽だから使う。
便利だが間違って使わないように注意する。
自信がなかったら使わないで普通にやる方がいい。
しかし推論に役立つので食わず嫌いは勿体ない。
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38 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 21:30:06.42 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 2
よく入試の元ネタになっている重要な性質。
互いに素。両方ともが素数である必要はない。
証明 1は普通。証明2は難しい。
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39 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 21:44:59.58 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 3
pを素数、k<pとすると逆元が必ず存在する。
互いに素。
これが合同式における割り算に相当する。
1とp− 1は自分だけで、他はペアでを組む。
ウィルソンの定理・・・p− 1以外はペアを組むので積が1になる。逆元がポイント。
フェルマーの小定理・・・pと互いに素であるa、すなわちpの倍数以外のaについて成り立つ。
k^ iがMOD pで全て異なり、 0以外を覆う時、kをMOD pにおける原始根という。MOD 7で3は原始根である。
具体例があるので分かりやすい。
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40 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 21:53:03.25 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 64
ユークリッドの互除法の解説。原理。
大きい長方形から小さい正方形を取れるだけ取り除いていくと最後に最大公約数の正方形が分かる。
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41 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 22:01:15.40 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 65
このページは今までのまとめになっている。
非常に面白い。
a x + b y＝ 1 (aとbは互いに素) の図形的意味。
不定方程式と合同式とユークリッドの互除法と逆元とフェルマーの小定理が全て結びつく。最高。
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42 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 22:12:30.43 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 6
格子点。ここでもax+b y＝ 1が活躍する。
基本定理を明確にしておく(２つある)。
内部に格子点がある場合は4個に分割される。
辺上に格子点がある場合は3個に分割される。
面積が2以上だと平行線で面積1にできる。
その時格子点は辺上に2個または内部に 1個。
最小平行四辺形の面積は 1、最小三角形の面積は 1/2。
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43 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 22:30:01.27 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 7
ピックの定理。
面積＝(周上の格子点/2) + (内部の格子点)−1。
証明。
面積 n /2の多角形についてnに関する帰納法で証明する。
i≦kなる全てのiについて成り立つと仮定する。
適当な折れ線で２つに分ける。
折れ線の両端を除いた格子点の数がポイント。
※辺同士の交差があるとピックの定理は使えない事に注意。
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45 ：名無しなのに合格[sage]：2018/03/29(木) 22:45:07.79 ID:kQygg83C - マスターオブ整数・第2部を読む。p 68
ファレー数列。
(1,0)と(1,1)から始めて、隣り合うベクトルを足して
x成分が n以下のもののみ残す。
すると出来上がるものは全て既約分数であり、
全ての (任意の)既約分数を生成できる。
性質 2をまず示す。次に性質 1を示す。後半の証明がポイント。性質 3は格子点の整数論の基本定理を利用する。
第2部終わり。
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