- 【高3・卒】河合塾第3回全統記述模試【ネタバレ】
333 ：名無しなのに合格[]：2010/10/18(月) 02:10:37 ID:hVOxyAH80 - ⅡＢ／ⅢＣ共通問題
★p = (3+√5)/2 としこのpについて
an = p^n + p^(-1)という漸化式を置く。
（１）a1 , a2 を求めろ
（２）an+2 = 3an+1 - an を示せ
（３）p^nにもっとも近い整数を４で割ったあまりを求めろ
【解】（河合の解答とはだいぶ違う）
（１）省略 a1=3 , a2=7
（２）p = (3+√5)/2 より
(2p-3)^2=5 ⇒ 4p^2-12p+4=0 ⇒ p^2=3p-1
またp≠0より、p^(-2)=(3/p) -1
ここで
an+2 = p^2*p^n + p^(-2)*p^(-n) = (3p-1)p^n + (p/3 -1)p^(-n) = 3{p^n+1+p^(-n-1)} - {p^n+p^(-n)} = 3an+1 - an
（３）p^n = an - (1/p)
(1)(2)より、anは帰納的に整数とわかり、
0 < 1/p = 2/(3+√5) < 2/(3+2) = 2/5 < 1/2
⇒ -1/2 < -1/p < 0
∴p^nにもっとも近い整数はanである。
（mod4）で
an+2 ≡ -an+1 - an = - (an+1 + an)より、
an≡ 3,3,2 , 3,3,2 , 3,3,2 ・・・・・
⇒nが３の倍数のとき、余りは２、それ以外のとき余りは３
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